Loi binomiale

Variables aléatoires discrètes finies - Mathématiques STI2D/STL

Exercice 1 : Loi binomiale - Trouver les paramètres en lecture d'énoncé (difficile)

Un groupe de musique désire mesurer sa popularité auprès du public. Ses membres ont remarqué qu'en moyenne, après des concerts de 45 personnes, 27 personnes les ont suivi sur les réseaux sociaux et 12 ont laissé un commentaire sur le profil du groupe. Leur prochain concert dans la ville voisine approche et ses 92 spectateurs également ! Ils souhaitent estimer leur futur succès. Ils cherchent ainsi à calculer la probabilité que plus de 7 personnes les suivent sur les réseaux sociaux après leur concert et modélisent pour cela la situation par une loi binomiale.

Que vaut le paramètre \(n\) de la loi binomiale ainsi modélisée ?
De même, que vaut son paramètre \(p\) ?

Exercice 2 : Probabilité de loi binomiale - lecture énoncé (formule factorielles)

Soit une urne contenant \(5\) boules rouges et \(2\) boules bleues. On effectue \(4\) tirages successifs avec remise dans cette urne.

Quelle est la probabilité de tirer exactement \(2\) boules rouges ?
Donner le résultat sous la forme d'une fraction ou d'un produit de fractions

Exercice 3 : Arbre de probabilités - Dénombrement (2)

Au cours d'une étude sur un centre téléphonique, on a remarqué que les opérateurs tombaient avec une probabilité \(p = 0,3\) sur des personnes souhaitant être enregistrées dans leur base de données. On souhaite déterminer la probabilité de tomber au cours des 3 prochains appels sur exactement trois personnes souhaitant être enregistrées. On suppose que les appels sont indépendants les uns des autres. On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,3\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire tomber sur une personne acceptant d'être enregistrée, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire tomber sur une personne refusant d'être enregistrée d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
En déduire la probabilité de tomber au cours des 3 prochains appels sur exactement trois personnes souhaitant être enregistrées.

Exercice 4 : Probabilité de loi binomiale P(X = 3)

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 7 \) et \( p = \dfrac{5}{6} \).

Calculer \( P(X = 5) \)
On donnera la réponse arrondie à \( 10^{-4} \) près.
On donnera la réponse directement, sans préciser à quoi elle correspond.

Exercice 5 : Proba de loi binomiale P(X ≤ 3)

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 4\) et \(p = \dfrac{1}{2}\).
Calculer \(P\left(X \le 2\right)\)
On donnera la réponse arrondie à \(10^{-4}\) près.
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