Variables aléatoires discrètes finies - STI2D/STL

On s’intéresse à la population masculine de Macao. Nous savons qu'en 2010 il y avait 261 028 hommes et 282 628 femmes. On sélectionne au hasard 3 personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante. A chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

1. Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »

On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

2.

On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\).

Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.

On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

3. Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois ou un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

4. En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Soit une urne contenant \(3\) boules rouges et \(4\) boules bleues. On effectue \(6\) tirages successifs avec remise dans cette urne, quelle est la probabilité de tirer exactement \(2\) boules rouges ?
(Donner le résultat sous la forme d'une fraction ou d'un produit de fractions)

Soit B une loi binomiale de paramètres \(p = \dfrac{1}{2} \) et \(n = 8 \).
Quelle est l'espérance de B ?

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 8\) et \(p = \dfrac{3}{5}\).

Calculer \(P\left(X \le 3\right)\)
On donnera la réponse arrondie à \(10^{-4}\) près.

À l'occasion d'un jeu télévisé, une personne essaye de gagner une voiture. Pour cela, elle ne doit tirer aucun ticket vert d'une urne contenant uniquement des tickets rouges et verts, et ce en 3 tirages. Les tirages sont avec remise et indépendants les uns des autres. La probabilité de tirer un ticket vert est de \(p = 0,4\). On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,4\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire tirer un ticket vert, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire tirer un ticket rouge d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).

En déduire la probabilité de gagner la voiture.